10° MATEMÁTICAS [L.A.T.]: SESIÓN 1 - SEGUNDO PERIODO (MATH 10°)

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

1) La suma de las medidas de los ángulos internos de un triangulo es 180°

2) Al lado de mayor longitud se opone el angulo de mayor amplitud, y al lado de menor longitud se opone el angulo de menor amplitud.

3) La medida de cada uno de los lados es menor que la suma de las medidas de los otros dos lados.

4) La medida de un angulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes.

5) Si dos lados de un triángulos son iguales, entonces, los ángulos opuestos a estos lados son iguales.

6) Si dos ángulos de un triangulo son iguales, entonces, los lados opuestos a estos ángulos son iguales.

7) Si dos triángulos tienen la misma base (b) y la misma altura (h), entonces, tienen áreas iguales.

8) Si un triangulo es equilatero, entonces sus tres ángulos miden igual.

TEOREMA DE PITAGORAS

Un triangulo rectangulo es el que tiene un angulo recto, es decir, un angulo que mide 90°.

En todo triangulo rectangulo, los lados que forman el angulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al angulo recto se llama hipotenusa.

En todo triangulo rectangulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

EJEMPLOS:

1) Hallar la altura b del árbol.

Para resolver este problema se realiza el siguiente procedimiento:

2) Calcular la distancia d del niño a la cometa.

Para resolver este problema se realiza el siguiente procedimiento:

CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO

Definición: (Circunferencia)

La circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que están a la misma distancia de otro punto llamado centro.

Definición: (Circulo)

El circulo es el conjunto de puntos interiores de una circunferencia.

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

En la circunferencia se identifican los siguientes elementos:

Centro: Punto del cual equidistan todos los puntos de la circunferencia.

Radio: Segmento cuyos puntos extremos son el centro y un punto de la circunferencia.

Cuerda: Segmento cuyos puntos extremos son dos puntos de la circunferencia.

Diámetro: Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Arco: Parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de esta.

Semicircunferencia: Arco determinado por los extremos de un diámetro.

PERÍMETRO & ÁREA DE UNA CIRCUNFERENCIA

Definición: (Perímetro)

El perímetro de una figura geométrica es la suma de las medidas de todos los lados que lo conforman. El perímetro se representa por P.

Para calcular el perímetro de una circunferencia se hace con la siguiente formula:

P = 2*π*r (r: radio, π número pi)

Definición: (Área)

El área de una figura es la medida de la superficie que ocupa la figura. El área se simboliza con la letra A.

Para calcular el área de una circunferencia se hace con la siguiente formula:

A = π*r² (r: radio, π número pi)

SISTEMA CÍCLICO Y SEXAGEXIMAL

SISTEMA SEXAGEXIMAL

Un angulo de giro completo es aquel que se genera por una rotación completa. La medida de este angulo es de 360 grados y se escribe 360°, donde el símbolo ° se lee grados.

Con respecto a un angulo de giro completo es importante tener en cuenta que:

Si un giro completo se divide en 360 partes iguales entonces, cada parte es un grado sexageximal, es decir: 1/360 parte de la rotación completa es igual a 1°.

Si un grado se divide en 60 partes iguales entonces, cada parte es un minuto, es decir, 1/60 de grado es igual a 1', donde el símbolo ' se lee minuto.

Si un minuto se divide en 60 partes iguales entonces, cada parte es un segundo, es decir, 1/60 parte de un minuto es igual a 1'', donde el símbolo '' se lee segundo.

Por lo tanto, se concluye que 1° = 60' = 3600''.

SISTEMA CÍCLICO

Definición: (Angulo Central)

Un angulo central θ en una circunferencia con centro O y radio r, es aquel formado por dos radios.

Definición: (Radián)

Un radian (rad) es la medida de un angulo central de una circunferencia cuya longitud de arco es igual a su radio.

Los ángulos en el sistema cíclico se miden en radianes, es decir, indicando cuantas veces cabe el radio de la circunferencia en la longitud de arco que comprende el angulo central.

HISTORIA DEL NUMERO π

El numero π surge como respuesta a la siguiente pregunta:

¿Cuantas veces cabe el radio en el perímetro de media circunferencia?

Los antiguos matemáticos griegos descubrieron que en media circunferencia cabe 3 veces el radio y sobra un poquito, esa medida la llamaron π = 3,1415926535..

Por lo tanto, la medida en el sistema cíclico de un angulo central que tiene como longitud de arco media circunferencia es π rad. De esta manera podemos concluir que 180° = π rad.

CONVERSIÓN DE ÁNGULOS

SISTEMA CÍCLICO - SEXAGESIMAL

Para convertir ángulos de un sistema a otro, solo hay que multiplicar por la magnitud a la que se quiere llegar y dividir por la magnitud que tengo.

EJEMPLOS:

1) Las bisagras de una puerta de seguridad tienen una apertura máxima de 60°. Expresar esta medida en radianes.

2) El minutero de un reloj marca el numero 3 y al cabo de un tiempo se ha desplazado 5/6 rad. Expresar esta medida en grados.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIANGULO RECTÁNGULO

En un triángulo rectángulo ademas del teorema de Pitagoras también se cumplen otras relaciones, estas son las razones trigonométricas. Las razones trigonométricas asociadas a un ángulo α se calculan de la siguiente manera: